Площадь неравностороннего многоугольника

Использование различных формул площадей многоугольников


Т.к. площадь треугольника равна полупроизведению высоты и стороны, к которой эта высота проведена, то с одной стороны площадь равна \[S=\dfrac12\cdot 6\cdot 4,\] а с другой \[S=\dfrac12\cdot 8\cdot h,\] где \(h\) – высота, которую нужно найти.

Таким образом, получаем следующее равенство: \[\dfrac12\cdot 6\cdot 4=\dfrac12\cdot 8\cdot h \quad \Leftrightarrow \quad h=3.\] Ответ: 3 Задание 4 #2268 Уровень задания: Равен ЕГЭ В треугольнике \(ABC\): \(AC = 4\), \(AB = 6\), \(\cos{\angle BAC} = \dfrac{\sqrt{15}}{4}\). Найдите площадь треугольника \(ABC\).

Из основного тригонометрического тождества:\(\sin^2\angle BAC = 1 — \dfrac{15}{16}\), тогда \(\sin\angle BAC = \pm 0,25\).

Так как \(\angle BAC \in (0^{\circ}; 180^{\circ})\), то \(\sin\angle BAC = 0,25\).

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними,тогда площадь треугольника \(ABC\) равна \(0,5\cdot 4 \cdot 6 \cdot 0,25 = 3\).

Как посчитать площадь многоугольника

Аналогичным образом измерьте и стороны самого многоугольника, натянув бечевку между соседними вершинами. 4 Чтобы воспользоваться формулой Герона, сначала посчитайте полупериметр каждого треугольника по формуле:р = ½ * (а + b + с),где:а, b и c – длины сторон треугольника,р – полупериметр (стандартное обозначение).Определив полупериметр треугольника, подставьте полученное число в следующую формулу:S∆ = √(р*(p-a)*(p-b)*(p-c)),где:S∆ – площадь треугольника. 5 Если многоугольник выпуклый, т.е.

не имеет внутренних углов, превышающих 180º, то выберите в качестве внутренней точки любую вершину многоугольника. В этом случае, треугольников получится на два меньше, что иногда может существенно упростить задачу нахождения площади многоугольника.

Правильный многоугольник.
Система расчета площадей полученных треугольников не отличается от описанной выше. 6 При решении школьных задач и «задач на смекалку» внимательно рассмотрите форму многоугольника.
Формулы, признаки и свойства правильного многоугольника

Формула площади n-угольника через радиус описанной окружности: S = nR2 · sin360°2n Формула периметра правильного n-угольника:P = na Формула угла между сторонами правильного n-угольника: αn = n — 2 · 180°n Рис.3 1.

Формула стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности: a = 2r √3 2. Формула стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности: a = R√3 3. Формула радиуса вписанной окружности правильного треугольника через длину стороны: r = a√36 4. Формула радиуса описанной окружности правильного треугольника через длину стороны: R = a√33 5.
Формула площади правильного треугольника через длину стороны: S = a2√34 6. Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности: S = r2 3√3 7.

Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности: S = R2 3√34 8. Угол между сторонами правильного треугольника: α = 60° Рис.4 Правильный четырехугольнику — квадрат.

Как узнать площадь многоугольника?

Тогда существует формула через радиус описанной окружности, которая позволяет найти искомую величину для любой фигуры. В других случаях однозначного решения не существует.

Для треугольника формула одна, а для квадрата или трапеции совершенно другие. В ситуациях, когда фигура неправильная или вершин очень много, принято разделять их на простые и знакомые.В первом случае он окажется треугольником, и можно воспользоваться одной из формул:

  1. S = 1/2 * а * н, где а — сторона, н — высота к ней;
  2. S = √(p * (p — а) * (p — в) * (p — с)), где с — сторона треугольника, к уже обозначенным двум, р — полупериметр, то есть сумма всех трех сторон, разделенная на два.
  3. S = 1/2 * а * в * sin (А), где а, в — сторон\ы треугольника, А — угол между известными сторонами;

Фигура с четырьмя вершинами может оказаться параллелограммом:

  1. S = 1/2 * d1 * d2 * sin(α),
  2. S = а * н;

Площади многоугольников

Заметим,что эти перпендикуляры равны высоте параллелограмма \(ABCD\).

Тогда \(AB’C’D\) – прямоугольник, следовательно, \(S_{AB’C’D}=AB’\cdot AD\). Заметим, что прямоугольные треугольники \(ABB’\) и \(DCC’\) равны. Таким образом, \(S_{ABCD}=S_{ABC’D}+S_{DCC’}=S_{ABC’D}+S_{ABB’}=S_{AB’C’D}=AB’\cdot AD.\) \[{\Large{\text{Площадь треугольника}}}\] Определение Будем называть сторону, к которой в треугольнике проведена высота, основанием треугольника.
Теорема Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию.

Доказательство Пусть \(S\) – площадь треугольника \(ABC\). Примем сторону \(AB\) за основание треугольника и проведём высоту \(CH\). Докажем, что \[S = \dfrac{1}{2}AB\cdot CH.\] Достроим треугольник \(ABC\) до параллелограмма \(ABDC\) так, как показано на рисунке:Треугольники \(ABC\) и \(DCB\) равны по трем сторонам (\(BC\)

Площадь многоугольника

Ориентированная площадь треугольника – это обычная площадь, снабженная знаком.

Знак ориентированной площади треугольника АВС такой же, как у ориентированного угла между векторами AB и AC. То есть ее знак зависит от порядка перечисления вершин.

Рисунок №1 На рис.

1 треугольник АВС – прямоугольный.

Его ориентированная площадь равна S=|OB||OC|/2(она больше нуля, так как пара OB,OC ориентирована положительно).

Эту же величину можно вычислить другим способом. Пусть О – произвольная точка плоскости. На рисунке площадь треугольника ABC получится, если из площади треугольника OBC вычесть площади OAB и OCA. Таким образом, нужно просто сложить ориентированные площади треугольников OAB, OBC и OCA. Это правило работает при любом выборе точки О.

Точно так же для вычисления площади любого многоугольника A1A2.An нужно сложить ориентированные площади треугольников OA1A2,OA2A3,.,OAnA1

Рисунок №2 В сумме получится площадь многоугольника, взятая со знаком плюс, если при обходе ломаной A1A2.An многоугольника находится слева (обход границы против часовой стрелки), и со знаком минус, если он находится справа (обход по часовой стрелке).

Итак, вычисление площади многоугольника свелось к нахождению площади треугольника. Теперь необходимо выразить ее в координатах. Векторное произведение двух векторов на плоскости есть площадь параллелограмма, построенного на этих векторах.

Рисунок №3 Векторное произведение, выраженное через координаты векторов: Площадь треугольника будет равна половине этой площади: S=1/2(xayb-yaxb) В качестве точки О удобно взять начало координат, тогда координаты векторов, на основании которых вычисляются ориентированные площади, совпадут с координатами точек. Пусть (х1, y1), (x2, у2), ., (хn,уn) —координаты вершин заданного многоугольника в порядке обхода по или против часовой стрелки.

Тогда его ориентированная площадь S будет равна: S=1/2(x1y2-y1x2+x2y3-y2x3+.+xny1-ynx1) Это и есть рабочая формула. Если координаты вершин были заданы в порядке обхода против часовой стрелки, то число S, вычисленное по этой формуле, получится положительным. В противном случае оно будет отрицательным, и для получения обычной геометрической площади необхо­димо взять его абсолютное значение.

Формула для расчета площади неправильного многоугольника

Если да, то соседние.

В противном случае их можно будет соединить отрезком, который необходимо назвать диагональю. Их можно провести только в многоугольниках, у которых больше трех вершин. Какие их виды существуют? Многоугольник, у которого больше четырех углов, может быть выпуклым или вогнутым.

Отличие последнего в том, что некоторые его вершины могут лежать по разные стороны от прямой, проведенной через произвольную сторону многоугольника. Как найти площадь правильного и неправильного шестиугольника?

Зная длину стороны, умножим её на 6 и получим периметр шестиугольника:10 см х 6 = 60 см Подставим полученные результаты в нашу формулу: Площадь = 1/2*периметр*апофему Площадь = ½*60см*5√3 Решаем: Теперь осталось упростить ответ, чтобы избавиться от квадратных корней, а полученный результат укажем в квадратных сантиметрах: ½ * 60 см * 5√3 см =30 * 5√3 см =150 √3 см =259.8 см² Видео о том, как найти площадь правильного шестиугольника Существует несколько вариантов определения площади неправильного шестиугольника:

Площадь многоугольника

— , , и — длины сторон треугольника. и — две стороны треугольника, а — угол между ними. и — сторона треугольника и , проведённая к этой стороне.

— длина стороны квадрата. и — длины сторон прямоугольника. — сторона ромба, — внутренний угол, — . — длина одной из сторон параллелограмма, а — , проведённая к этой стороне.

и — длины параллельных сторон, а — расстояние между ними (высота). и — длины диагоналей, и — угол между ними.

— длина стороны шестиугольника. Правильный — длина стороны восьмиугольника. — длина стороны многоугольника, а — количество сторон многоугольника. — (или радиус вписанной в многоугольник окружности), а — периметр многоугольника. Произвольный . — координаты вершин -угольника, или — радиус окружности, а — её диаметр.

и — соответственно радиус и угол сектора (в ).

и — большая и малая полуоси эллипса.

Как вычислить площадь многоугольника

5 Используйте следующие формулы, когда известны стороны треугольника:– перемножьте стороны треугольника, которые прилежат к углу С, на синус этого угла;– вычтите из полупериметра (p) треугольника сначала одну сторону (p-a), потом другую (p-b) и третью (p-c). Перемножьте полученные значения с полупериметром и разделите результат на 2.

6 Применяйте для определения площади трапеции формулу S = h * ( a + b ) / 2, если известна высота и оба основания трапеции. 7 Используйте способ вычисления площади многоугольника с помощью палетки.

Начертите вокруг многоугольника квадратную сетку, у которой сторона одной клетки будет равна единице, чтобы все вершины многоугольника находились в ее узлах.

8 Вычислите площадь такой фигуры по формуле Пика: S = В + Г/2 – 1.